Guliston davlat pedagogika instituti

Ushbu maqolada sonlar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri bo‘lgan multiplikativ funksiyalarning asosiy xossalari, ularning tasnifi va qo‘llanilish sohalari ko‘rib chiqilgan. Avvalo, multiplikativ funksiyaning ta‘rifi va oddiy misollar (masalan, Eulerning φ funksiyasi, Möbius funksiyasi va Dirichlet belgisi) bilan tanishtiriladi. Keyinchalik, ushbu funksiyalarning asosiy algebraik va arifmetik xossalari, ayniqsa, Dirichlet konvolyutsiyasi bilan bog‘liq munosabatlar yoritiladi. Maqolada multiplikativ funksiyalarning analitik sonlar nazariyasidagi o‘rni, ularning zeta funksiyasi bilan aloqasi va taqsimotga oid qo‘llanmalari ham muhokama qilingan. Nazariy ma‘lumotlar bilan bir qatorda, misollar va mashqlar orqali mavzuning amaliy jihatlari ham ochib beriladi. Maqola oliy o‘quv yurtlari talabalari va sonlar nazariyasiga qiziquvchi tadqiqotchilar uchun mo‘ljallangan. Multiplikativ funksiyalar. Arifmetik funksiya f multiplikativ deyiladi, agar: f(1)=1 va f(mn )=f(m) f(n) har qanday o‘zaro tub natural sonlar m va n uchun bajarilsa. Multiplikativ funksiya f to‘liq multiplikativ deyiladi, agar: f(mn )=f(m) f(n) har qanday natural sonlar m va n uchun bajarilsa. 훼 Masalan, f(n)=푛 funksiyasi har qanday haqiqiy α uchun to‘liq multiplikativ 훼 훼 훼 funksiyadir, chunki: f(mn)=(푚푛) =푚 푛 =f(m)f(n) har qanday natural m va n uchun bajariladi. [1] Multiplikativ funksiyalarning xossalari. 1. Multiplikativ funksiyalar ko‘paytmasi ham multiplikativ funksiyadir. 2. Agar f — multiplikativ funksiya bo‘lsa, 훼1 훼2 훼푠 n=푝 ∙ 푝 ∙...∙ 푝 ko‘rinishida ifodalanib, bu erda 푝1 ,푝2,..., 푝푠 - turli tub 1 2 푠 sonlar, 훼1,α2,...,훼푠 ∈ N, u holda quyidagi tenglik bajariladi[2]: 푠 2 훼푖 ∑푓(푑) = ∏(1 + 푓(푝푖) + 푓(푝 )+...+푓(푝 )) 푖 푖 푑|푛 푖=1 3. Agar f-multiplikativ funksiya bo‘lsa, unda h(n) = ∑푓(푑) 푑|푛 funksiyasi ham multiplikativ funksiya bo‘ladi.[3] 4. Multiplikativ funksiya f tub sonlarning darajalari bo‘yicha aniqlanadi: 훼1 훼2 훼푠 훼1 훼2 훼푠 f(푝 ∙ 푝 ∙...∙ 푝 )=f(푝 )f(푝 )...f(푝 ). [4] 1 2 푠 1 2 푠 5. Agar funksiya f multiplikativ bo‘lsa, har qanday natural m va n sonlari uchun quyidagiga teng bo‘ladi: f(m) f(n)=f((m,n)) f([m,n]) [5] Har qanday natural son n ning bo‘luvchisi d quyidagi shaklda bo‘ladi: 훼1 훼2 훼푠 훽1 훽2 훽푠 n=푝 ∙ 푝 ∙...∙ 푝 bu erda d=푝 ∙ 푝 ∙...∙ 푝 , 0≤ 훽1 ≤ 훼1 1 2 푠 1 2 푠 0≤ 훽2 ≤ 훼2,..., 0≤ 훽푠 ≤ 훼푠 Shu sababli quyidagiga ega bo‘lamiz: 푠 훽푖 ∑푓(푑) = ∑ 푓(∏푝 ) = 푖 푑|푛 0≤훽푖≤훼푖,푖=1,2,...,푠 푖=1 Bu yig‘indini ko‘paytuvchiga ajratsak: 푠 푠 훽푖 훽푖 = ∑ 푓(∏푝 ) = ∏ ∑ 푓(푝 ), 푦푎′푛푖 푖 푖 0≤훽푖≤훼푖,푖=1,2,...,푠 푖=1 푖=1 0≤훽푖≤훼푖 푠 2 훼푖 ∑푓(푑) = ∏(1 + 푓(푝푖) + 푓(푝 )+...+푓(푝 )) 푖 푖 푑|푛 푖=1 Xuddi shuningdek, agar m va n o‘zaro tub bo‘lsa, u holda ularning har qanday bo‘luvchisi d quyidagi shaklda bo‘ladi: d=푑1푑2 푑1|m, 푑2|n, (푑1,푑2)=1 Shundan kelib chiqib: h(mn) = ∑ 푓(푑) = ∑ 푓(푑1푑2 ) 푑|푚푛 푑1|m,푑2|n Multiplikativik xossasiga ko‘ra: ∑ 푓(푑1 )푓(푑2 ) = ∑ 푓(푑1) ∑ 푓(푑2), 푦표푘푖 푑1|m,푑2|n 푑1|푚 푑2|푛 h(mn)=h(m)h(n). Shu sababli h(n)=∑푑|푛 푓(푑) funksiyasi ham multiplikativ funksiya bo‘ladi. [6] Misollarni echish namunalari [7]

Bomurotov Sherbek Najmiddinovich, Narimonov Djaxongir Janibekovich. MULTIPLIKATIV FUNKSIYALAR // UZLUKSIZ TA’LIMDA ANIQ FANLARNI O‘QITISHGA OID ZAMONAVIY YONDASHUVLAR VA INNOVATSIYALAR. Guliston davlat pedagogika instituti, 2025, B.133-136. — https://konferensiya.gspi.uz/maqola/184